题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使关于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

解：（1）因为 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ -------（1分）
两式相减得 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ------------（2分）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以 $\text{[math]}$ ----（3分）
故 $\text{[math]}$ ------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2 $\text{[math]}$
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，------------（5分）
∴ $\text{[math]}$ ，------------（6分）
两式相减得 $\text{[math]}$ ------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，------------（8分）
所以 $\text{[math]}$ ------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等价于 $\text{[math]}$ ，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时， $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，------------（12分）
∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，∴所求实数λ的取值范围为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ -----（14分）
分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用错位相减法，可求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数λ的最小值．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求数列的通项是关键．