题目内容
【题目】已知
， 
分别为双曲线
： 
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线
的左右两支分别交于
， 
两点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】
∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，
不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，
∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，
又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，
∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．
∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．
在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，
又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，
∴c=
，
∴双曲线的离心率e=
．
故选：A．
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