Question

当实数t取什么值时，复数z=

|cost|

+

|sint|

i的幅角主值θ适合0≤θ≤

π

4

？

Answer 1

因为复数z=

|cost|

+

|sint|

i的实部与虚部都是非负数，
所以z的幅角主值θ一定适合0≤θ≤

π

2

从而0≤θ≤

π

4

?0≤tgθ≤1.
显然r=|z|≠0因为tgθ=

|sint|

|cost|

=

|tgt|

，所以0≤tgθ≤1?0≤|tgθ|≤1?-1≤tgt≤1．
由于
y=tgt在-

π

2

＜t＜

π

2

内是增函数，并且它的周期是π，
因此-1≤tgt≤1的解是kπ-

π

4

≤t≤kπ+

π

4

(k为任意整数).
这就是所求的实数t的取值范围