Question

已知圆x²+y²+4x+10y+4=0.求证：

(1)点A(1，-2)在圆内.若过A作直线l，并且被圆所截得的弦被点A平分，求此直线的方程.

(2)点B(1，-1)在圆上，并求出过点B的圆的切线方程.

(3)点C(1，0)在圆外，并求出过点C的圆的切线方程.

Answer 1

解析：圆心M(-2，-5)，半径r=5.

(1)∵，

∴点A在圆内.

若直线l垂直于x轴，弦不被点A平分，不合题意，故直线l的斜率存在.设其方程为:y+2=k(x-1)，交点P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，则

∴(1+k²)x²-2(k²-3k-2)x+k²-6k-12=0,

∴x₁+x₂=,

∴,

∴k=-1.

∴直线l的方程为:x+y+1=0.

(2)∵1²+(-1)²+4×1+10×(-1)+4=0,

∴点B(1，-1)在圆上，

∴k_BM=,

∴过B(1，-1)的圆的切线：

y+1= (x-1),

∴3x+4y+1=0.

(3)∵,

∴点C(1，0)在圆外，

设过点C与圆相切的直线方程为：

y=k(x-1),

∴kx-y-k=0,

∵圆与直线相切，

∴,

∴k=0或k=,

∴切线方程为：

y=0或15x+8y-15=0.