Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的一个焦点是F（1，0），且离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的性质及e=

c

a

，b²=a²-c²即可得出；
（II）分直线MN的斜率存在于不存在讨论，当MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及其中点坐标公式及其基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得 c=1．
因为椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
故椭圆C的方程为 

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当MN⊥x轴时，显然y₀=0．
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由 

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

消去y整理得 （3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），
则 x1+x2=

8k2

3+4k2

．
所以 x3=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y3=k(x3-1)=

-3k

3+4k2

．
线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
在上述方程中令x=0，得y0=

k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．
当k＜0时，

3

k

+4k≤-4

3

；当k＞0时，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y0＜0，或0＜y0≤

3

12

．
综上：y₀的取值范围是[-

3

12

，

3

12

]．

点评：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式及其基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了分类讨论思想方法、推理能力、计算能力．