Question

（2006•安徽）设常数a＞0，(ax2+

1

x

)4展开式中x³的系数为

3

2

，则

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

1

．

Answer 1

分析：先利用展开式中x³的系数为

3

2

，求出a的值，再利用无穷等比数列和的极限公式求解．

解答：解：由题意，展开式的通项为Tr+1=

C

r 4

×a4-r×x8-

5

2

r
令8-

5

2

r=3，则r=2
∵(ax2+

1

x

)4展开式中x³的系数为

3

2

，
∴6a2=

3

2

∵a＞0，
∴a=

1

2

∴

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

1 2

1- 1 2

=1
故答案为：1．

点评：本题以二项式为载体，考查数列的极限，关键是利用展开式中x³的系数为

3

2

，求出a的值，从而求极限．