Question

已知函数f（x）=log 

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（1+x），g（x）=log 

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（1-x）．
（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）定义法：先求出f（x）-g（x）的定义域，判断是否关于原点对称，然后判断f（-x）-g（-x）与f（x）-g（x）的关系；
（2）f（x）-g（x）＞0，即log

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(1+x)＞log

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(1-x)，利用对数函数的单调性转化为一次不等式即可解得，注意定义域；

解答：解：（1）由1+x＞0，1-x＞0得，-1＜x＜1，定义域为{x|-1＜x＜1}；
记h（x）=f（x）-g（x）=log

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(1+x)-log

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(1-x)，显然定义域关于原点对称，
∵h（-x）=f（-x）-g（-x）=log

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(1-x)-log

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(1+x)，∴h（-x）=-h（x），
所以f（x）-g（x）是奇函数．
（2）f（x）-g（x）＞0，即log

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(1+x)＞log

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(1-x)，
所以

1+x＞0 1+x＜1-x

，解得-1＜x＜0，
所以x的取值范围为（-1，0）．

点评：本题考查复合函数的单调性、函数奇偶性的判断，属中档题，复合函数单调性的判断方法：“同增异减”．