Question

下列命题中正确的是（　　）
①存在实数α，使等式sinα+cosα=

3

2

成立；
②函数f（x）=tanx有无数个零点；
③函数y=sin(

3

2

π+x)是偶函数；
④方程tanx=

1

3

的解集是{x|x=2kπ+arctan

1

3

，k∈Z}；
⑤把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移

π

6

个单位后，得到的函数解析式可以表示成f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
⑥在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有1个公共点．

A．②③④

B．③⑤⑥

C．①③⑤

D．②③⑥

Answer 1

分析：将sinα+cosα=

3

2

两边平方后整理得sin2a=

5

4

，根据正弦函数的值域可判断①；根据正切函数的图象和性质，可判断②；根据诱导公式及余弦函数的单调性，可判断③；根据正切函数的周期性，可判断④；根据函数图象的平移变换法则，求出平移后函数的解析式，可判断⑤；利用导数法，分析两个函数图象交点的个数，可判断⑥

解答：解：将sinα+cosα=

3

2

两边平方后整理得：2sinacosa=

5

4

，即sin2a=

5

4

，这与正弦函数的值域为[-1，1]相矛盾，故①错误；
当x=kπ，k∈Z时，函数f（x）=tanx=0，故②正确；
函数y=sin(

3

2

π+x)=-cosx为偶函数，故③正确；
方程tanx=

1

3

的解集是{x|x=kπ+arctan

1

3

，k∈Z}，故④错误；
把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移

π

6

个单位后，得到的函数应该是f（x）=2sin（2x+

π

3

），故⑤错误；．
令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0，所以g（x）为减函数，且g（0）=0，所以g（x）=0仅有一个根0，所以y=sinx与y=x仅有一个交点．故⑥正确
即正确的命题为②③⑥
故选D

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数，余弦函数及正切函数的图象和性质是解答的关键．