Question

（本小题满分12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

a_n+2S_n·S_n－1=0（n≥2），a₁=．

（1）求证：{}是等差数列；

（2）求a_n表达式；

（3）若b_n=2（1－n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²<1．

Answer 1

【解】（1）∵－a_n=2S_nS_n－1，∴－S_n+S_n－1=2S_nS_n－1（n≥2）

S_n≠0，∴－=2，又==2，∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．

（2）由（1）=2+（n－1）2=2n，∴S_n=

当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=－

n=1时，a₁=S₁=，∴a_n=

（3）由（2）知b_n=2（1－n）a_n=

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=++…+<++…+

=（1－）+（－）+…+（－）=1－<1．