题目内容

设函数h(x)＝x|x|＋mx＋n给出下列四个命题：

①当m＝0时，h(x)＝0只有一个实数根；

②当n＝0时，y＝h(x)为偶函数；

③函数y＝h(x)图象关于点(0，n)对称；

④当m≠0，n≠0时，方程h(x)＝0有两个不等实根．

上述命题中，正确命题的序号是_________

答案：①③

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设h(x)＝x＋，x∈[，5]，其中m是不等于零的常数，

(1)m＝1时，直接写出h(x)的值域

(2)求h(x)的单调递增区间；

(3)已知函数f(x)(x∈[a，b])，定义：f₁(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f₂(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])．其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值．例如：f(x)＝cosx，x∈[0，π]，则f₁(x)＝cosx，x∈[0，π]，f₂(x)＝1，x∈[0，π]，当m＝1时，|h₁(x)－h₂(x)|≤n恒成立，求n的取值范围；

对于函数f₁(x)，f₂(x)，h(x)，如果存在实数a，b使得h(x)＝a·f₁(x)＋b·f₂(x)，那么称h(x)为f₁(x)，f₂(x)的生成函数．

(Ⅰ)下面给出两组函数，h(x)是否分别为f₁(x)，f₂(x)的生成函数？并说明理由；

第一组：f₁(x)＝sinx，f₂(x)＝cosx，h(x)＝sin(x＋)；

第二组：f₁(x)＝x²－x，f₂(x)＝x²＋x＋1，h(x)＝x²－x＋1；

(Ⅱ)设f₁(x)＝log₂x，f₂(x)＝logx，a＝2，b＝1，生成函数h(x)．若不等式3h²(x)＋2h(x)＋t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；

(Ⅲ)设f₁(x)＝x，f₂(x)＝(1≤x≤10)，取a＝1，b＞0，生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立，求b的取值范围．