题目内容
（2013•石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是
(1，
]
| 4 |
| 3 |
(1，
]
．| 4 |
| 3 |
分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c=1+
即可得出．
| 1 |
| ab-1 |
解答：解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2
，化为
(
-2)≥0，
∴
≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．
∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=
=
=1+
．
∵ab≥4，∴1＜1+
≤
，∴1＜1+
≤
．
∴c的取值范围是(1，
]．
故答案为(1，
]．
| ab |
| ab |
| ab |
∴
| ab |
∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=
| ab |
| ab-1 |
| ab-1+1 |
| ab-1 |
| 1 |
| ab-1 |
∵ab≥4，∴1＜1+
| 1 |
| ab-1 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| ab-1 |
| 4 |
| 3 |
∴c的取值范围是(1，
| 4 |
| 3 |
故答案为(1，
| 4 |
| 3 |
点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．
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