Question

在△ABC中，三个内角成等差数列，且A＜B＜C，则cosA•cosC的取值范围是________．

Answer 1

（-，）
分析：由题意易得B的值为，故C=-A，A∈（0，），可把C用角A的形式表示，从而达到消元的目的，最后又三角函数公式可把问题化为函数y=-，A∈（0，）的取值范围问题．
解答：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴3B=π，即B=
∴C=-A，A∈（0，）
∴cosA•cosC=cosA•cos（-A）=cosA（cosA+sinA）
=cos²AsinAcosA=+
=-=-
∵A∈（0，），∴2A∈（0，），（2A-）∈（-，），
∴sin（2A-）∈（-，1），可得sin（2A-）∈（-，），
∴-+sin（2A-）∈（-，），
故cosA•cosC的取值范围是（-，），
故答案为：（-，）．
点评：本题为三角函数的取值范围问题，把问题转化为关于角A的三角函数是解决问题的关键，属中档题．