Question

20.三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.

（Ⅰ）求证AB⊥BC;

（Ⅱ）设AB=BC=2,求AC与平面PBC所成角的大小.

Answer 1

20.本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识,以及逻辑思维能力和空间想象能力.

（Ⅰ）证明：如图1,取AC中点D,连结PD、BD.

图1

因为PA=PC,所以PD⊥AC,

又已知面PAC⊥面ABC,

所以PD⊥面ABC,D为垂足.

因为PA=PB=PC,

所以DA=DB=DC,可知AC为△ABC的外接圆直径,

因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：如图2,作CF⊥PB于F,连结AF、DF.

图2

因为△PBC≌△PBA,所以AF⊥PB,AF=CF.

因此,PB⊥平面AFC,所以面AFC⊥面PBC,交线是CF.

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF,

∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中,AB=BC=2,所以BD=.

在Rt△PDC中,DC=,PD=，

在Rt△PDB中,DF===.

在Rt△FDC中,tanACF===，

所以∠ACF=30°.

即AC与平面PBC所成角为30°.