Question

【题目】已知函数是定义在上的奇函数，且， .

（1）求函数的解析式；

（2）判断并证明函数在上的单调性；

（3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：(1)由题意易得： ，从而解得a，b的值，得到函数的表达式；（2）利用函数的单调性定义判断函数在上的单调性；（3）对任意的都有恒成立，即.
试题解析：

（1）

，即

又函数是定义在上的奇函数

， ，即

解得：

(2) 函数在上的单调递减，在上单调递增

证明如下：取且

且

即

，即

函数在上的单调递减

同理可证得函数在上单调递增 .

(3)

令

由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增

函数的对称轴方程为

函数在上单调递增

当时， ；当时，

即，

又对任意的都有恒成立

即

解得.