Question

设函数f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx，x∈R．
（I）求函数f（x）的周期和值域；
（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的周期，然后由x属于实数，得到这个角也属于实数，进而由正弦函数的值域[-1，1]，得到函数f（x）的值域；
（II）把x=A代入第一问化简得到的f（x）中，求出f（A），让其等于

3

2

得到sin（A+

π

3

）的值，根据A的范围求出A+

π

3

的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数，进而求出sinA的值，由已知a与b的关系式及求出的sinA，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由A，B的度数，根据三角形的内角和定理求出C的度数即可．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)，（3分）
∴f（x）的周期为2π．（4分）
因为x∈R，所以x+

π

3

∈R，
所以f（x）值域为[-1，1]；（5分）
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+

π

3

)，（6分）
∴sin(A+

π

3

)=

3

2

，（7分）
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，（8分）
∴A+

π

3

=

2π

3

，得到A=

π

3

．（9分）
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，（10分）
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，∴sinB=1，（11分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

2

．（12分）
∴C=π-A-B=

π

6

．（13分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，两角和的正弦函数公式及正弦定理．熟练掌握三角函数的周期公式及公式、定理是解本题的关键，同时学生在利用特殊角的三角函数值时注意角度的范围．