Question

【题目】已知函数.

(1)试判断函数的单调性；

(2)设，求在上的最大值；

(3)试证明：对任意的，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增,在上单调递减（2）（3）见解析

【解析】

（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）根据函数的单调性的关系，分类讨论即可；（3）根据（1）知当时，，根据导数和函数的最值即可证明.

（1）函数的定义域是.由已知.

令,得.

因为当时,;

当时,.

所以函数在上单调递增,在上单调递减.

（2）由1问可知当,即时,在上单调递增,

所以.

当时,在上单调递减,所以.

当,即时,.

综上所述,

（3）由（1）问知当时.

所以在时恒有,

即,当且仅当时等号成立.

因此对任意恒有.

因为,,所以,即.

因此对任意,不等式.