Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为实数），g（x）=lnx-x．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）证明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）=e^x-ax-1得导数，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间．
（2）利用导数解决即可．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N₊，n≥2，∴lnn²≤n²-1，得到

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

再利用裂项法求和，即可得出不等式．

解答：解：由已知，得f′（x）=e^x-a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，故函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna]上单调递减，
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=

1

x

-1当0＜x＜1，g′（x）＞0，当x＞1，g′（x）＜0，所以g（x）在x=1取得极大值g（1）=-1．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N₊，n≥2，∴lnn²≤n²-1，得到

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤（1-

1

22

）+（1-

1

32

）+…（1-

1

n2

）=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜（n-1）-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

]
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

）+

1

3

-

1

4

+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=（n-1）-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

即

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的最值（极值）．不等式的证明．本题的关键是利用（2）做铺垫，构造出基础不等式到

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

．