Question

如图所示，在直三棱柱中，，，，，是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

解法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，∴.

∵，∴平面．

∵平面，∴，而，则．

在中，，

在中，

，

∴．

同理可得，．

∵，∴．即．

∵，∴平面． ----6分

（Ⅱ）如图，过作的垂线，垂足为，在平面内作交于点，连，则为二面角的平面角．

在中，，．

∵～，∴，则，．

在中，求得．

在中，由余弦定理，得．

故二面角的余弦值为．---13分

解法二：∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，    

∴．

∵，

∴平面．以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．---3分

（Ⅰ），，，

∵，，∴，，即，．

∵，∴平面.-------------6分

（Ⅱ）设是平面的法向量，由得

取，则是平面的一个法向量．

又是平面的一个法向量，-----10分

且与二面角的大小相等．

由．

故二面角的余弦值为．    -----------13分