Question

给定椭圆C：C，称圆心在坐标原点O，半径为（a＞b＞0）的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是Q（a，b），椭圆C上一动点M₁满足．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l₁、l₂使得l₁、l₂与椭圆C都各只有一个交点，且l₁、l₂分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与M、N轴正半轴的交点时，求与l₂的方程，并求线段的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点代入椭圆C：中可求出a²=5又焦距为4再结合b²=a²-c²=1可求出b²=1故圆的半径R=，再由圆心（0，0）写出圆的方程．
（2）由于直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点可以得到即即a²+b²=9在结合a＞b＞0求出a，b的取值范围即可得到动点（a，b）的轨迹方程，再根据轨迹方程即可做出对应的图象．
（3）由题意得得，半焦距进而求出b²=a²-c²=1所以椭圆C的方程为所以“伴随圆”的方程为x²+y²=4，再根据题意知P点的坐标为（0，2）进而可根据题意设与椭圆有一个交点的直线为y=kx+2在与椭圆方程联立可求出K的值即可写出符合条件的直线方程．对于线段的长度可利用，l₂垂直求出．
解答：解：（1）由题意得：，则a²=5（1分）
又由焦距为2c=4，所以焦距为b²=a²-c²=1（2分）
故所求的“伴随圆”的方程为x²+y²=6（4分）
（2）由于椭圆C的“伴随圆”x²+y²=a²+b²与直线有且只有一个交点，则圆心到直线的距离等于半径，
即（7分）
故动点Q（a，b）轨迹方程为a²+b²=9（a＞b＞0）
即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为3的圆上八分之一弧（除去两端点）如图（10分）
（3）由题意得：得，半焦距来了
则b=1椭圆C的方程为“伴随圆”的方程为x²+y²=4（11分）
文科 因为“伴随圆”的方程为x²+y²=4与M、N轴正半轴的交点P（0，2），
设过点P（0，2），且与椭圆有一个交点的直线为y=kx+2，
则整理得（1+3k²）x²+12kx+9=0（14分）
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1
所以，l₂的方程为y=x+2，y=-x+2（16分）
由于，l₂垂直，线段的长度为4（18分）
点评：本题虽说给出了“伴随圆”这个新定义但是考查的还是椭远的有关知识：求a，b，c，求椭圆方程，然后椭圆与圆比如第一问，椭圆与直线（比如第二第三问）的综合问题的考查，最终还是圆锥曲线间的综合．而解决此类问题一定要看清楚题中的信息和条件还要把问题转化为数学语言比如椭圆C的“伴随圆”x²+y²=a²+b²与直线有且只有一个交点，则圆心到直线的距离等于半径即即还有直线与圆锥曲线的交点个数问题转化为直线与圆锥曲线方程联立所构成的方程组的解的个数问题，这是解决此类问题常用的方法！