题目内容

已知函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞0，且 $数学公式$ ．数列{b_n}满足 $数学公式$ ，设 $数学公式$ ．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{b_n}的通项公式．
（3）若k+l=M₀（M₀为常数），求数列{a_n}从第几项起，后面的项都满足a_n＞1．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故数列{a_n}为等比数列，公比为3．
（2） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，公差为log_a3的等差数列．
又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，且k+l=5
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）∵k+l=M₀ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
假设第m项后有a_n＞1
∵ $\text{[math]}$
即第m项后 $\text{[math]}$ ，
于是原命题等价于 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵m，M∈N^*?m=M₀故数列{a_n}从M₀+1项起满足a_n＞1．
分析：（1）通过计算f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1+ $\text{[math]}$ ），结合已知条件可得：6a_n=2a_n+1，从而得出数列{a_n}为公比为3的等比数列．
（2）由对数的运算性质，得 $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，公差等于log_a3的
等差数列．
（3）由k+l=M₀得出初始值： $\text{[math]}$ ，由等差数列的通项公式得出 $\text{[math]}$ ，假设第m项后有a_n＞1
且第m项后 $\text{[math]}$ ，得出m满足 $\text{[math]}$ ，此时可得当m=M₀故数列{a_n}从M₀+1项起满足a_n＞1．
点评：本题考查了等差和等比数列的综合，以及数列与不等式相结合等等知识点，属于难题．解题时请注意对数式的处理，和利用派生数列研究题中要求数列的技巧运用．