Question

对于任意n∈N^*，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|的值是（　　）

• A、

  1998

  1999

• B、

  2000

  1999

• C、

  1998

  2000

• D、

  1999

  2000

Answer 1

分析：根据函数抛物线方程令y=0求得x的关系式，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入到|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|中即可得到答案．

解答：解：y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=[x-

1

n

][x-

1

n+1

]
令y=0，则x=

1

n

或

1

n+1

∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

1999

-

1

2000

）
=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

）+…+（

1

1999

-

1

2000

）

1

2000

=1-

1

2000

=

1999

2000

故选D

点评：本题主要考查数列求和的累加法．考查对基础知识的灵活运用．