Question

圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是（　　）

• A、

  Q

  2

• B、

  3

  2

  Q
• C、

  π

  2

  Q
• D、

  3 π

  2

  Q

Answer 1

分析：画出图形，设上底半径为a，下底半径为b，高为h，母线长为l，在轴截面（梯形）内作内切加圆，根据条件母线与上下底面半径的关系，母线与下底面成60°，圆台的轴截面面积，列出方程，求出内切球的半径，求出表面积即可．

解答：解：设上底半径为a，下底半径为b，高为h，母线长为l，
在轴截面（梯形）内作内切加圆，
可知该梯形的斜边（母线）为两底半径之和，
即：l=b+a   ①
依条件 母线与下底面成60°，∴l=2（b-a）  ②
h=

3

（b-a）  ③
依条件 圆台的轴截面面积是Q知：（b+a）h=Q  ④
由：①②得：b+a=2（b-a）  代入④得：2（b-a）h=Q  与③相乘得：h²=

3

2

Q
再由球表面积公式得 S=4π（

1

2

h）²=πh²
∴所求球表面积为 S=

3

2

πQ
故选D

点评：本题是基础题，考查圆台的内切球的有关知识，注意轴截面图形的应用，圆的切线的应用，是本题的突破口．考查空间想象能力．