Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，N是A₁D的中点，M∈BB₁，异面直线MN与A₁A所成的角为90°．
（1）求证：点M是BB₁的中点；
（2）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；
（3）求二面角A-MN-A₁的大小．

Answer 1

（1）证明：取AA₁的中点P，连接PM，PN．
∵N是A₁D的中点，∴AA₁⊥PN，又∵AA₁⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA₁⊥面PMN．
∵PM?面PMN，∴AA₁⊥PM，∴PM∥AB，
∴点M是BB₁的中点．
（2）由（1）知∠PNM即为MN与平面ADD₁A₁所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PNM=

PM

PN

=2，∠PNM=arctan2．
故MN与平面ADD₁A₁所成的角为arctan2．
（3）∵N是A₁D的中点，M是BB₁的中点，∴A₁N=AN，A₁M=AM，
又MN为公共边，∴△A₁MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A₁G，则∠A₁GA即为二面角A-MN-A₁的平面角．
在△A₁GA中，AA₁=2，A₁G=GA=

30

5

，
∴cos∠A₁GA=

A1G2+GA2- AA 21

2A1G•GA

=-

2

3

，∴∠A₁GA=arccos（-

2

3

），
故二面角A-MN-A₁的大小为arccos（-

2

3

）．