Question

（本小题16分）已知点A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹

为曲线W.

(1)直接写出W的方程（不写过程）；

(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，是否存在常数k，使得向量与向量共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

（3）设W的左右焦点分别为F₁、 F₂，点R在直线l：x－y＋8＝0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求的值.

Answer 1

解：(1) W:   .

(2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

整理，得.   ①    

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.

设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

由①得.                 ②

又                ③

所以与向量共线等价于将②③代入上式，解得.

     所以不存在常数k，使得向量与共线

（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切.

直线l与x轴于S(-8,0),∽

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