Question

在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,设M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点,求证:

(1)E、F、B、D四点共面;

(2)平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

证明:(1)如图,由E、F为C₁D₁、B₁C₁中点,则EF∥B₁D₁.又BD∥B₁D₁,∴EF∥BD.

∴E、F、B、D四点共面.

(2)同上,MN∥B₁D₁,∴MN∥EF.又EF平面EFBD,

MN平面EFBD,∴MN∥平面EFBD.

又NFA₁B₁ABANFB为平行四边形AN∥BF,

同理,可推出AN∥平面EFBD.

又AN与MN相交,∴平面AMN∥平面EFBD.