Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形 且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=

3

，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥P-BDC的体积．
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过证BD⊥AC，BD⊥PA，得出BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，推出平面PBD⊥平面PAD．
（2）直接利用V=

1

3

S△BDC•PA，求解几何体的体积．
（3）设AC∩BD=O，则EO⊥PC，利用△COE∽△CPA，求出CE即可．

解答：解：（1）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面为菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
因为PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，
所以平面PBD⊥平面PAD
（2）因为PA⊥底面ABCD，所以PA是底面BCD上的高，
所以：V=

1

3

S△BDC•PA=

1

3

×(

1

2

×2×2×

3

2

)×

3

=1
（3）存在；
设AC∩BD=O，则EO⊥PC，
易知△COE∽△CPA，

CE

AC

=

OC

PC

，
四棱锥P-ABCD的底面为菱形 且∠ABC=120°，AB=2，PA=

3

，
AC=2CO=2

3

，PC=

PA2+AC2

=

15

，

CE=

AC•CO

PC

=

2 3 ×  3

15

，
∴CE=

2 15

5

．

点评：本题考查空间想象能力，直线与平面垂直，平面与平面垂直，几何体的体积的计算，存在性问题的考查．