Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N*，
(Ⅰ)证明：{a_n-1}是等比数列；
(Ⅱ)求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)证明：当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁-85，
解得a₁=-14，则a₁-1=-15，
当n≥2时，S_n-1=(n-1)-5a_n-1-85，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-5a_n+5a_n-1，
∴6a_n=5a_n-1+1，即，
∴{a_n-1}是首项为-15，公比为的等比数列．
(Ⅱ)解：，
∴，
当n≥2时，设，
即，解得n＞≈15.85，
当2≤n≤15时，S_n＜S_n-1；
当n≥16时，S_n＞S_n-1；
故n=15时，S_n取得最小值。