Question

【题目】如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明PA//平面BDE；

（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值；（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．

（Ⅰ）证明：以D为坐标原点，

分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，

设是平面BDE的一个法向量，

则由，得，

取y=﹣1，得．

∵=2﹣2=0，∴，

又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，

又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．

设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，

∴cosθ=cos＜，＞=．

故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．

（Ⅲ）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），

∴=0，∴PB⊥DE，

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），

则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），

由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，

∴∈（0，1），此时PF=，

即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．