Question

已知函数.（Ⅰ）分别求函数和的图象在处的切线方程；（Ⅱ）证明不等式；（Ⅲ）对一个实数集合,若存在实数,使得中任何数都不超过,则称是的一个上界.已知是无穷数列所有项组成的集合的上界（其中是自然对数的底数）,求实数的最大值.

Answer 1

【解析】：（Ⅰ）,则,且

,所以函数和的图象在处的切线方程都是……3分

（Ⅱ）令函数,定义域是，

,

设,则,

令,则,

当时,,在上为增函数,

,设,则

………10分

由（Ⅱ）知，,即,

所以,于是在上为减函数.

故函数在上的最小值为,所以的最大值为………13分