Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且=1(n∈N^*)，a₁=5．

(Ⅰ)求{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{x_n}与{a_n}满足x_n=，求证：x₁+x₂+…+x_n＜．

Answer 1

(Ⅰ)解法一：由=1(n∈N^*)和a₁=5，S₁=a₁知，数列{}为首项为5，公差为1的等差数列，所以=5+(n-1)×1=n+4，

∴S_n=n²+4n    ∴a_n=S_n-S_n-1=2n+3．

上式即为{a_n}的通项公式．

解法二：由=1，得

nS_n+1-(n+1)S_n=n(S_n+a_n+1)-nS_n-S_n=n(n+1)，

∴S_n=na_n+1-n(n+1)                                  ①

于是S_n+1=(n+1)a_n+2-(n+1)(n+2)             ②

②式减①式并整理，得a_n+2-a_n+1=2．

又已知a₁=5，所以{a_n}的通项公式为：a_n=2n+3．

(Ⅱ)证明：∵x_n==,

∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=.