题目内容

已知函数F（x）= $数学公式$ ．
（I）求F（ $数学公式$ ）+F（ $数学公式$ ）+…+F（ $数学公式$ ）；
（II）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），证明{ $数学公式$ }为等差数列（n∈N^），并求数列{a_n}的通项公式；
（III）已知若b＞a＞0，c＞0，则必有 $数学公式$ ，利用此结论，求证：a₁a₂…a_n＞ $数学公式$ （n∈N^）．

解：（I）∵F（x）= $\text{[math]}$ ，
∴F（x）+F（1-x）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3，
设S=F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ），①
则S=F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ），②
①+②，得2S=[F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）]+[F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）]+…+[F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）]=3×2010=6030，
∴S=3015，
∴F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ）=3015．
（II）将等式a_n+1=F（a_n）的两边同时减去1，
得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以2为公差，1为首项的等差数列，
所以 $\text{[math]}$ =2n-1，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（III）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴a₁a₂…a_n＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
分析：（I）由F（x）= $\text{[math]}$ ，得F（x）+F（1-x）=3，设S=F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ），利用倒序相加法能求出F（ $\text{[math]}$ ）+F（ $\text{[math]}$ ）+…+F（ $\text{[math]}$ ）的值．
（II）将等式a_n+1=F（a_n）的两边同时减去1，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能证明证明{ $\text{[math]}$ }为等差数列（n∈N^*），并求数列{a_n}的通项公式．
（III）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，由此能够证明a₁a₂…a_n＞ $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和放缩法的合理运用．