Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

   已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且（为坐标原点）。

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

   （Ⅱ）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）设则由

由得

即  所以                       …………2分

又因为              …………3分

因此所求椭圆的方程为：           ……4分

   （2）动直线的方程为：由得

设

则       …………6分

假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则

由假设得对于任意的恒成立，

即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）              ……12分