题目内容

设向量 $数学公式$ =（0，2）， $数学公式$ =（1，0），过定点A（0，-2），以 $数学公式$ +λ $数学公式$ 方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量 $数学公式$ -2λ $数学公式$ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求 $数学公式$ • $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）设P（x，y），∵ $\text{[math]}$ =（0，2）， $\text{[math]}$ =（1，0），∴ $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ =（λ，2）， $\text{[math]}$ -2λ $\text{[math]}$ =（1，-4λ），
过定点A（0，-2），以 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 方向向量的直线方程为：2x-λy-2λ=0，
过定点B（0，2），以 $\text{[math]}$ -2λ $\text{[math]}$ 方向向量的直线方程为：4λx+y-2=0，
联立消去λ得：8x²+y²=4∴求点P的轨迹C的方程为8x²+y²=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ ?（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，则 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ =（x₁-1，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂-1，y₂），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k²=（1+k²）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1）= $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ ，
∵0≤k²＜8，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围是[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（Ⅰ）设P（x，y），求得过定点A（0，-2），以 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 方向向量的直线方程，以及过定点B（0，2），以 $\text{[math]}$ -2λ $\text{[math]}$ 方向向量的直线方程，消去λ即得点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）用点斜式设直线l的方程，代入曲线C的方程得到根与系数的关系，判别式大于零，代入 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的式子化简，求得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题考查求点的轨迹方程，一元二次方程根与系数的关系，两个向量的数量积公式，化简 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 是解题的难点．