Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）的图象与x轴有两个不同的交点A、B，且f（1）=0．
（1）求

c

a

的范围；
（2）证明：

3

2

＜|AB|＜3．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件得到a+b+c=0，又a＞b＞c，进一步得出a＞0，c＜0，利用不等式的性质求出

c

a

的范围；
（2）将b=-a-c代入ax²+bx+c，令其为0，求出A，B的横坐标，利用两点距离公式表示出|AB|，利用（1）中

c

a

的范围得证

解答：解：（1）∵f（1）=0，
∴a+b+c=0，又a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴

2a+c＞a+b+c=0 a+2c＜a+b+c=0

，
即

2a+c＞0 a+2c＜0

，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
（2）∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴ax²+bx+c=ax²-（a+c）x+c=（ax-c）（x-1）=0，
∴xA=

c

a

，x_B=1或x_A=1，xB=

c

a

，
∴|AB|=|xA-xB|=|

c

a

-1|=1-

c

a

由（1）知-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴1+

1

2

＜1-

c

a

＜1+2，
即

3

2

＜|AB|＜3．

点评：本题考查二次函数的性质；考查不等式的性质及两点的距离公式，属于基础题．