Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上，
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当A₁E与平面EBD所成角θ为多大时，平面A₁BD⊥平面EBD．

Answer 1

分析：（1）连AC，A₁C₁，可先根据线面垂直的判定定理可证BD⊥平面ACC₁A₁，A₁E?平面ACC₁A₁，根据线面垂直的性质可知BD⊥A₁E；
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO，根据二面角平面角的定义可知∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角，是90°，然后解三角形求出A₁E与平面EBD所成角θ的大小即可．

解答：解：（1）证明：连AC，A₁C₁
∵正方体AC₁中，AA₁⊥平面ABCD∴AA₁⊥BD
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁且E∈CC₁
∴A₁E?平面ACC₁A₁
∴BD⊥A₁E
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁∴BD⊥A₁O，BD⊥EO
∴∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角，
∴∠A₁OE=90°，∴∠OA₁E为A₁E与平面EBD所成角θ，
∵AB=a，E为CC₁中点∴A₁O=

6

2

a，EO=

3

2

a，A₁E=

3

2

a，
sinθ=

EO

A1O

=

3 2 a

3 2 a

=

3

3

∴θ=arcsin

3

3

，此时平面A₁BD⊥平面EBD．

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线线垂直、线面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．