Question

已知函数f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在x=2处取得极值，求满足条件的a的值；
（Ⅱ）当a＞ -

1

2

时，f（x）在（1，2）上单调递减，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）在(

1

e

，e)内有且只有两个零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则求出导函数，利用极值点处的导数为0，列出方程求出a的值．
（Ⅱ）对a分类讨论令导函数小于0求出递减区间，得到（1，2）的端点的范围，列出不等式求出a的范围．
（Ⅲ）令导函数为0求出函数的单调性与最小值；结合函数的草图，只要最小值小于0，两个端点的值大于0即可，列出不等式组，求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2ax+1-2a-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

有已知得f′(2)=0即

(4a+1)(2-1)

2

=0
∴a=-

1

4

经检验a=-

1

4

符合题意
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2ax+1-2a-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意
当-

1

2

＜a＜0时，f（x）在（1，2）上单调递减，
令t=2ax+1，
则有t=2ax+1≤0在（1，2）恒成立，
有4a+1≤0，即a≤-

1

4

，
综合可得a的取值范围是（-

1

2

，-

1

4

]；
（Ⅲ）令f′（x）=0
∵a＞0解得x=1或x=-

1

2a

(舍)
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（

1

e

，e）内有且仅有两个零点，只需

f( 1 e )＞0 f(x)min＜0 f(e)＞0

即

a( 1 e )2+(1-2a) 1 e -ln 1 e ＞0 a+1-2a-ln1＜0 ae2+(1-2a)e-lne＞0

∴

a＜ e+e2 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

∵

e+e2

2e-1

-1=

e(e-1)+1

2e-1

＞0∴

e+e2

2e-1

＞1
∵

1-e

e2-2e

＜0
∴1＜a＜

e+e2

2e-1

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用导数求函数的单调区间及极值，并能解决函数的零点个数问题．