Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；
（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．
解答：解：（1）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为，
要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…（2分）
若a=1则b=-1，若a=2则b=-1，1若a=3则b=-1，1…（4分）
记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，
∴…（6分）
（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，
其面积…（8分）
事件A构成的区域：
由，得交点坐标为，…（10分）
∴，
∴事件A发生的概率为…（12分）
点评：本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．