Question

【题目】已知数列各项均为正数，其前项和为，且， .

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】试题分析：（1）由当时，， ，两式相减可得，由此可得数列是公差为 的等差数列，从而能求出；（2）由，利用错位相减法能求出数列的前项和.

试题解析：（Ⅰ）∵数列各项均为正数，其前项和为，且， .，

∴当时， ，解得，

当时， ，

∵，∴，

∴， ，…， ，…，是以1为首项，2为公差的等差数列， ，

， ，…， ，…，是以2为首项，2为公差的等差数， ，∴， .

（Ⅱ）∵， ，

∴数列的前项和：

，①

，②.

②-①，得：

.

【易错点晴】本题主要考查递推公式、等差数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.