Question

等差数列{a_n}中a₃=7,a₁+a₂+a₃=12，记为{a_n}的前n项和,令b_n=a_na_n+1,数列的前n项和为T_n.(1)求a_n和S_n； (2)求证：T_n<；(3)是否存在正整数m , n ，且1<m<n ，使得T₁ , T_m , T_n成等比数列？若存在，求出m ,n的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  S_n=    (Ⅱ) 略  （Ⅲ）m=2,n=16

解析:

解（1）设数列的公差为，由

,.

解得，=3  …2分∴;  ……3分 S_n=   4分

(2)          

∴        ……………………… 6分

 ∴                   =   … 8分   …… 9分

(3)由(2)知，    ∴，

 ∵成等比数列. ∴      即…… 11分

当m=1时，7，=1，不合题意；

当m=2时，，=16，符合题意；

当m=3时，，无正整数解；

当m=4时，，无正整数解；

当m=5时，，无正整数解；

当m=6时，，无正整数解；…… 14分(少讨论一个扣0.5分)

当m≥7时， ,

则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且7<m<n,使得成等比数列.……15分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列. … 16分