Question

如图已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a，点E、F分别在A₁B、B₁D₁上，且A₁E=A₁B，B₁F=B₁D₁.

(1)求证:EF∥平面ABC₁D₁;

(2)求EF与平面ABC₁D₁的距离d.

Answer 1

(1)证明：如图,建立空间直角坐标系B—xyz，易得?

E（a,0, a）,F(a, a,a),故=(-a, a, a),=(a,0,0),=(0,a,a).?

设n=(x,y,z)是平面ABC₁D₁的法向量。?

由n·BA=0，?

令z=1，得n=(0,-1,1).?

∵·n=(-a, a,a)·（0，-1，1）=0，?

∴⊥n,故EF∥平面ABC₁D₁.?

(2)解：由（1）得=（a,0, a）,?

∴·n=(a,0, a)·（0，-1，1）=a,?

∴d==a.