Question

设a,b∈R^*,n∈N^*,求证：≥()ⁿ.

Answer 1

证明：①n=1时，左边=右边=,原不等式成立.

②设n=k时,原不等式成立，即≥()^k成立.

∵a,b∈R⁺,∴·≥成立.

∴要证明n=k+1时原不等式成立，即证明^k+1成立.

只需证明:成立.

只需证明:a^k+1+b^k+1≥ab^k+a^kb成立.

下面证明:a^k+1+b^k+1≥ab^k+a^kb成立.

不妨设a≥b＞0,则a^k+1+b^k+1-ab^k-a^kb=(a^k-b^k)(a-b)≥0.

∴a^k+1+b^k+1≥ab^k+a^kb成立.

故n=k+1时原不等式成立.

由①②,可知对于任何n∈N^*，原不等式成立.