Question

请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如下图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时,帐篷的体积最大?

Answer 1

解：设OO₁为x m,则1<x<4.?

由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)

=.

于是底面正六边形的面积为(单位:m²)

6··()²=(8+2x-x²).

帐篷的体积为(单位:m³)

= (8+2x-x²)［ (x-1)+1］=(16+12x-x³).

求导数,得= (12-3x²).

令,解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.

当1<x<2时, ,为增函数;

当2<x<4时, ,为减函数.

所以当x=2时, 最大.

答：当OO₁为2 m时,帐篷的体积最大.