Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：数列{a_n+2}是等比数列（要求指出首项与公比）；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+2，可求得得a_n+1+2=2a_n+4，从而有

an+2+2

an+2

=2，n∈N*，而a₁+2=4，从而可证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得a_n=2ⁿ⁺¹-2，利用分组求和法即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：证明：（I）由a_n+1=2a_n+2，得a_n+1+2=2a_n+4，
即a_n+1+2=2（a_n+2），
∴

an+1+2

an+2

=2，n∈N*，（4分）
又由a₁=2得a₁+2=4，
所以数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．（6分）
（II）由（I）知a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
所以a_n=2ⁿ⁺¹-2，
所以Sn=22+23+…+2n+1-2n=

22(1-2n)

1-2

-2n（10分）
=2ⁿ⁺²-2n-4．（12分）

点评：本题考查等比关系的确定及等比数列的求和，分析得到数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列是关键，突出考查分组求和（转化为等比数列与等差数列的公式求和），属于中档题．