Question

（2013•盐城二模）（选修4-5：不等式选讲）
若x∈(-

1

2

，

2

3

)，证明

1+2x

+

3+x

+

2-3x

＜3

2

．

Answer 1

分析：直接构造18=6×3=[（1+2x）+（3+x）+（2-3x）]（1+1+1），利用柯西不等式证明即可．

解答：证明：因为18=6×3=[（1+2x）+（3+x）+（2-3x）]（1+1+1），
由柯西不等式可得：
18=[(1+2x)+(3+x)+(2-3x)](1+1+1)≥(

1+2x

•1+

3+x

•1+

2-3x

•1)2…（7分）
又x∈(-

1

2

，

2

3

)，
所以

1+2x

+

3+x

+

2-3x

＜3

2

．…（10分）

点评：本题考查柯西不等式的证明方法的应用，构造柯西不等式是解题的关键．