Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)若x＞-1,求证:1-≤ln(x+1)≤x.

Answer 1

(1)解：函数f(x)的定义域为(-1,+∞).

f′(x)=

由f′(x)＜0及x＞-1,得x＞0.

∴当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数，

即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).

(2)证明:由(1)知,当x∈(-1,0)时,f′(x)＞0;

当x∈(0,+∞)时,f′(x)＜0.

因此,当x＞-1时,f(x)≤f(0),即ln(x+1)-x≤0.

∴ln(x+1)≤x.

令g(x)=ln(x+1)+-1,则g′(x)=

当x∈(-1,0)时,g′(x)＜0;当x∈(0,+∞)时,g′(x)＞0.

∴当x＞-1时,g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,即ln(x+1)≥1-.

综上，可知当x＞-1时,有1-≤ln(x+1)≤x.