题目内容
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1的中点，N是BC上一点．（Ⅰ）若平面AB1N∥平面A1MC，求证：N为BC的中点；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若A1B1=A1C1，B1C=B1B，求证：平面A1MC⊥平面ABC．
分析：（Ⅰ）由平面AB1N∥平面A1MC，根据面面平行的性质得到MC∥B1N，再由M为B1C1的中点可证结论；
（Ⅱ）由题意证出B1C1⊥平面A1MC，再由B1C1∥BC，结合面面垂直的判定得答案．
（Ⅱ）由题意证出B1C1⊥平面A1MC，再由B1C1∥BC，结合面面垂直的判定得答案．
解答：证明：（Ⅰ）∵平面AB1N∥平面A1MC，
平面A1MC∩平面B1BCC1=MC，
AB1N∩平面B1BCC1=B1N，所以MC∥B1N
因为M为B1C1中点，所以N为BC中点；
（Ⅱ）A1B1=A1C1，且M为中点，所以A1M⊥B1C1，B1C=BB1⇒B1C=C1C，M为中点，所以CM⊥B1C1，
又A1M∩MC=M，则B1C1⊥平面A1MC，
又B1C1∥BC，所以BC⊥平面A1MC，
又BC?平面ABC，所以平面A1MC⊥平面ABC．
平面A1MC∩平面B1BCC1=MC，
AB1N∩平面B1BCC1=B1N，所以MC∥B1N
因为M为B1C1中点，所以N为BC中点；
（Ⅱ）A1B1=A1C1，且M为中点，所以A1M⊥B1C1，B1C=BB1⇒B1C=C1C，M为中点，所以CM⊥B1C1，
又A1M∩MC=M，则B1C1⊥平面A1MC，
又B1C1∥BC，所以BC⊥平面A1MC，
又BC?平面ABC，所以平面A1MC⊥平面ABC．
点评：本题考查了直线与平面，平面与平面垂直的判定，考查了学生的空间想象能力，是中档题．
练习册系列答案
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（2008•武汉模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，则侧面A'ACC'⊥侧面ABC，又AA'和底面所成60°的角，且AA'=2a，AB=BC=
时，求证：平面A′B′P⊥平面BB′C′C；
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