Question

求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点A(2

5

，0)，B(0，-3)；
（2）经过点M（2，0），且与椭圆9x²+5y²=45具有共同的焦点．

Answer 1

分析：（1）根据题意，椭圆经过的A、B恰好是椭圆的右顶点与下顶点，结合椭圆的标准方程与基本概念，算出a、b之值，即可得出所求椭圆的标准方程；
（2）将椭圆9x²+5y²=45化成标准方程：

x2

5

+

y2

9

=1，算出c=2得焦点坐标为（0，±2）．由此设所求椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），结合题意建立关于a、b的方程组，解出a、b的值即得所求椭圆的标准方程．

解答：解：（1）∵椭圆经过点A(2

5

，0)，B(0，-3)，
∴椭圆的顶点在x轴上，a=2

5

且b=3，得a²=20，b²=9
可得椭圆的方程为

x2

20

+

y2

9

=1；
（2）椭圆9x²+5y²=45化成标准方程，得

x2

5

+

y2

9

=1，
∴椭圆的焦点在y轴，且c²=9-5=4，得c=2，焦点为（0，±2）．
∵所求椭圆经过点M（2，0），且与已知椭圆有共同的焦点，
∴设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
可得

a2-b2=4 02 a2 + 42 b2 =1

，解之得a²=8，b²=4，
因此所求的椭圆方程为

y2

8

+

x2

4

=1．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程．考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．