题目内容
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。
| 解：（1）证明：连结OC ∵BO=DO，AB=AD， ∴AO⊥BD ∵BO=DO，BC=CD， ∴CO⊥BD 在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=  而AC=2， ∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC ∵  ∴AB⊥平面BCD。 （2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC ∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在△OME中，  ∵  是直角△AOC斜边AC上的中线∴  ∴  ∴异面直线AB与CD所成角的大小为  。 |
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| （3）设点E到平面ACD的距离为h ∵  = ∴  ·S△ACD= ·AO·S△CDE在△ACD中，CA=CD=2，AD=  ∴S△ACD=  而AO=1，S△CDE=  ∴h=  ∴点E到平面ACD的距离为  。 |
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