Question

已知(

3	x

-

3

3 x

)n的展开式中，第六项为常数项
（1）求n   
（2）求含x²的项的二项式系数 
（3）求展开式中所有项的系数和．

Answer 1

分析：（1）由题意(

3	x

-

3

3 x

)n的展开式中，第六项为常数项，即弟六项x的系数为0，写出展开式的第六项，令其指数为0，解出n的值；
（2）写出其展开式Tk+1=

C

10 k

(

3	x

)10-k(

3

3 x

)k=

C

10 k

3k(x)

10

3

-

2

3

k，令x的指数为2，求得k的值，即得出含x²的项的二项式系数；
（3）令x=1，得展开式中所有项的系数和为（1-3）¹⁰．

解答：解：（1）∵T6=

C

5 n

(

3	x

)n-5(

3

3 x

)5=

C

5 n

35(x)

1

3

n-

5

3

(x)-

5

3

=

C

5 n

35(x)

1

3

n-

10

3

由已知

1

3

n-

10

3

=0，所以n=10；
（2）∵Tk+1=

C

k 10

(

3	x

)10-k(

3

3 x

)k=

C

k 10

3k(x)

10

3

-

2

3

k
令

10

3

-

2

3

k=2，解得k=2，所以含x²的项的二项式系数为C₁₀²=45
（3）令x=1，得展开式中所有项的系数和为（1-3）¹⁰=（-2）¹⁰=2¹⁰

点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握二项式系数的性质，对二项式的项的形式记忆准确，本题第三小问求各项的系数，这是一个易混点，易把项的系数和与二项式系数和混为一个，注意区分概念，掌握正确的结论