Question

已知函数f（x）=

2

x

-x^m，且f（4）=-

7

2

．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=-

7

2

的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；
（2）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x₁＜x₂，只要证明f（x₁）＞f（x₂），即可．

解答：解：（1）∵f（4）=-

7

2

，
∴

2

4

-4^m=-

7

2

．∴m=1．
（2）f（x）=

2

x

-x在（0，+∞）上单调递减，证明如下：
任取0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-x1)-(

2

x2

-x2)=（x₂-x₁）(

2

x1x2

+1)．
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）=

2

x

-x在（0，+∞）上单调递减．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明及指数方程的解法．属于基础题．